Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục|Mot so sai lam thuong gap khi giai cac bai toan tim cuc tri va cach khac phuc | Lương Văn Lý | Loại: Tài liệu tham khảo, bài tập, đề thi.. | Nguồn: Trường THCS Yên Lư - Yên Dũng - Bắc Giang | Thư mục: Trung Trường THPT Nguyễn Tất Thành. Đăng nhập; Toggle navigation. Giới thiệu; -2023Học sinh vào mục mục VAN BAN TRUONG THPT NTT phần DANH MUC SGK CAC LOP 10 NAM HOC 2022-2023 để biết các loại SGK theo từng lớp để chuẩn bị. Sai lầm thường gặp khi làm toán tích phân. KHOÁ LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT & ĐH NĂM 2021 (CÓ VIDEO CHỮA) GIÚP HỌC SINH 111. Khoá học bao gồm video chữa đề thi chi tiết từ Giáo viên Tuyensinh247 giỏi, nhiều kinh nghiệm luyện thi TN THPT, ĐH. Cách dạy chi tiết, giải thích cặn kẽ từng câu theo phương pháp tổng hợp kiến thức. Chương 4 - Các sai lầm và thiếu sót thường gặp khi khảo sát hàm số Chương 5 - Những quan điểm khác nhau trong các bài toán tiếp xúc, tiếp tuyến và tiệm cận Chương 6 - Sai lầm trong các bài toán nguyên hàm, tích phân và tổ hợp. Chương 7 - Sai lầm trong các bài toán hình học. Chương 8 - Các bài viết chọn lọc của nhà giáo Nguyễn Đức Tấn 2. Nắm vững lý thuyết. Đề thi THPT Quốc gia 2019 luôn có vài câu kiểm tra lý thuyết, có những chi tiết rất nhỏ cũng được đề cập đến và các phương án nhiễu thường nhắm đến những sai lầm khi không nắm chắc lý thuyết. Do vậy phải học kỹ các định nghĩa, khái niệm Những sai lầm thường gặp khi giải bài toán đại số tổ hợp và cách khắc phục. Bạn đọc tham khảo một tài liệu bổ ích về những sai lầm thường gặp trong cách giải bài toán đại số tổ hợp của cô Nguyễn Thị Hà, giáo viên toán tỉnh Thanh Hóa. Bạn đọc tham khảo tài 6APrh. PHẦN 1 MỞ ĐẦU do chọn đề tài Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển của Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán trong thực tế. Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất lớn. Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp Dạy cái gì? Dạy như thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập?... là những vấn đề được nhiều người quan tâm và nghiên cứu. Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và cách khắc phục”. 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai làm phổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông. Từ đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường trung học phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình học Đại số tổ hợp. Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm. -1- Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai lầm. Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi và hiệu quả của những đề xuất. Đưa ra những kết luận cần thiết. 4. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đế đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo… Điều tra tìm hiểu Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông Đặng thai Mai. Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai. -2- PHẦN 2 NỘI DUNG NỘI DUNG MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay. Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ hợp của 100 học sinh lớp 11 – Ban nâng cao trường THPT Đặng Thai Mai với hình thức ra bài kiểm tra tự luận thời gian 20 phút Đề kiểm tra 1. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình. Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá? Đáp án 3780 cách 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ số là một số chẵn? Đáp án 64800 số *Chúng tôi trình bày một số lời giải sai của học sinh Câu 1 - Lời giải 1 Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A Trường hợp 1 Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 403200 cách Trường hợp 2 Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 302400 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là 403200 + 302400 = 705600 cách -3- Nhận xét Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã sử dụng sai công thức. - Lời giải 2 Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A Trường hợp 1 Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là A13+A25+A58= 6743 cách Trường hợp 2 Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là A13 + A35 + A48 = 1743 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là 6743 + 1743 = 8486 cách Nhận xét Học sinh sử dụng sai quy tắc. - Lời giải 3 Mỗi cách chọn thành viên tổ 1 chính là cách chọn thành viên tổ 2. Như vậy ta chỉ cần xét cho tổ 1. Có 2 trường hợp Trường hợp 1 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng * Khả năng 1 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Có = 1680 cách * Khả năng 2 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có = 2100 cách Trường hợp 2 2 học sinh giỏi. Có 2 khả năng * Khả năng 1 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có = 2100 cách -4- * Khả năng 2 3 học sinh khá và 3 học sinh trung bình. Khả năng này có = 1680 cách Theo quy tắc cộng ta có kết quả là 1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách Nhận xét Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến lặp. Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính là các cách xếp tổ 2 ở trường hợp 1. - Lời giải đúng là Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A Trường hợp 1 Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 1680 cách Trường hợp 2 Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 2100 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là 1680 + 2100 = 3780 cách Câu 2 - Lời giải 1 Số có 6 chữ số thoả mãn Tổng các chữ số là một số chẵn có thể xảy ra ở hai trường hợp Trường hợp 1 Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn có số. Trường hợp 2 Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn có số. Trong đó số các số có 6 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu là A59 = 15120 số. Vậy kết quả của bài toán là -5- – 15120 = 56880 số. Nhận xét Thực tế học sinh phân chia số có 6 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn gồm hai tập hợp. Giả sử A Gồm các số có 6 chữ số có tổng các chữ số là số chắn. B Gồm các số có 6 chữ số và có chữ số 0 đứng đầu. C Gồm các chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán. Nhận thấy rằng Bø Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhưng tổng các chữ số còn lại không phải là số chẵn suy ra nó không thuộc tập A. Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết quả. - Lời giải 2 Gải sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6 a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp Trường hợp 1 Có 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được ! = 36000 số Trường hợp 2 Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được ! = 36000 số Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là 36000 + 36000 = 72000 số Nhận xét Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên đã không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu. - Lời giải đúng là Giả sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6 a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp Trường hợp 1 Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn ta được ! - ! = 31200 số Trường hợp 2 Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được ! – ! = 33600 số -6- Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là 31200 + 33600 = 64800 số *Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên Sai lầm 1 Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp . Sai lầm 2 Sử dụng sai quy tắc . Sai lầm 3 Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp. Sai lầm 4 Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc. Sai lầm 5 Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học . * Kết quả Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng. Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu. Câu hỏi đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung. Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ Hợp. Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp... Theo tác giả Nguyễn Bá Kim ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa. Theo thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa lý hiệu với khái niệm được định nghĩa… Ví dụ 1 -7- Học sinh thường phát biểu „Tổ hợp chập k của n là Ckn ‟‟ mà phát biểu đúng là „Số tổ hợp chập k của n là Ckn‟‟ hoặc „Chỉnh hợp chập k của n là Akn ’’ mà phát biểu đúng là „Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là Akn ” . Cũng có những học sinh áp dụng công thác rất thành thạo nhưng lại không hiểu ý nghĩa của công thức. Ví dụ 2 Khi gặp bài tập chứng minh Cnn-k = Ckn. Học sinh dế dàng làm được bằng cách áp dụng trực tiếp công thức Ckn = n! n  k !k ! Tuy nhiên ít học sinh chứng minh được dựa vào định nghĩa của C kn, học sinh không hiểu được bản chất tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k k ≤ n phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm n-k phần từ. Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Quy tắc cộng „‟Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”. Quy tắc nhân „Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo cách”. Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm lẫn cụm từ „một trong hai phương án” và „‟ hai công đoạn liên liếp”… gây ra sai lầm trong giải toán. Ví dụ 3 Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn 1 nam và 1 nữ? ♠. Học sinh giải như sau Số học sinh nữ là 40 – 20 = 20 học sinh. -8- Vận dụng quy tắc cộng ta có 20 + 20 = 40 cách. ♠. Nguyên nhân sai lầm Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn 1 nam, 1 nữ là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ hoặc ngược lại, hai hành động này phụ thuộc nhau ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ. ♠. Lời giải đúng là Số học sinh nữ trong lớp là 40 – 20 = 20 học sinh Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn Công đoạn 1 Chọn 1 bạn nam có 20 cách. Công đoạn 2 Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ. Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam và 1 bạn nữ là = 400 cách chọn Khi giải các bài toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫn chưa hiểu rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp. Dịnh nghĩa chỉnh hợp „„Cho tập hợp A gồm n phần tử n ≥ 1 và số nguyên k với 1≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A”. Định nghĩa tổ hợp „„Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1≤ k ≤ n . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phẩn tử của A gọi tắt là một tổ hợp chập k của A”. Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn. Ví dụ 4 -9- Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ? ♠. Học sinh giải như sau Giả sử a1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0. Tổng số cách chọn 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C 310, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0 là C29. Do đó kết quả của bài toán là C310 – C29 = 84 ♠. Nguyên nhân sai lầm Học sinh chưa nắm được chỉnh hợp là một tập con gồm k phần tử sắp thứ tự trong khi bài toán này với 3 chữ số a1a2a3 phân biệt có 6 cách xếp thành những số khác nhau chẳng hạn a1a2a3 ≠ a1a2a3 . ♠. Lời giải đúng là Giả sử a1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0, ứng với mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Tổng số cách sắp xếp 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là A310, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0 là A29. Do đó kết quả của bài toán là A310 – A29 = 648 số Ví dụ 5 Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra cặp để tham gia trò chơi? ♠. Học sinh giải như sau Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A37 = 210 cách. Tương tự số cách chọn 3 nữ có thứ tự là A39 = 504 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia trò chơi là = = 105840 cách ♠. Sai lầm học sinh mắc phải Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại. Giả sử 3 bạn nam xếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c. Ta có 3 cặp A,a, B,b, C,c. Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3 - 10 - cặp B,b, C,c, A,a giống trước. Như vậy trong bài toán này ta phải dùng công thức tính số tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp. ♠. Lời giải đúng là Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 công đoạn Công đoạn 1 Chọn 3 học sinh nam. Số cách chọn là C13 = 35 cách Công đoạn 2 Chọn 3 học sinh nữ. Số cách chọn là C39 = 84 cách Công đoạn 3 Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ. Có 3! Cách xếp. Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toán là 3!. = 17640 cách Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học. Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới. Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việc tất yếu là học sinh giải toán sai. Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay sử dụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”. Chẳng hạn như các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ cái có mặt trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} Có 8 phần tử khác nhau. Theo quan điểm của lý thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái 10 phần tử. Chính vì thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải toán tổ hợp. Ví dụ 6 - 11 - Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể viết thành bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 7 có mặt hai lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? ♠. Lời giải của học sinh Giả sử số thoả mãn yêu cầu bài toán là a1a2a3a4a5a6a7a8 Số a1 có 7 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết là hoán vị của tập hợp gồm 7 chữ số khác nhau. Nếu coi hai chữ số 7 khác nhau thì số a1a2a3a4a5a6a7a8 có cách viết. Do số 7 xuất hiện hai lần nên với hai vị trí của hai chữ số 7 sẽ có hai hoán vị như nhau. Vậy kết quả của hai bài toán là  17640 cách viết 2 ♠. Sai lầm ở đây là Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết. Nghĩa là phải giả sử hai chữ số 7 khác nhau ngay từ đầu. ♠. Lời giải đúng là Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 7}. Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết. Với hai vị trí nào đó của hai chữ số 7 thì có hai hoán vị như nhau. Vậy số a1a2a3a4a5a6a7a8 có  20160 cách viết 2 Trong các bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập được bao nhiêu số gồm k chữ số khác nhau”. Với cụm từ này thì dụng ý của tác giải viết sách là Số gồm k chữ số a1a2 …ak thì các a1 i = 1,k phải khác nhau từng đôi một. Tức là ai ≠ aj với i,j =1,k ; i ≠ j Tuy nhiên, cũng có học sinh hiểu các số gồm k chữ số khác nhau tức là a1a2 …ak ≠ b1b2 …bk dẫn đến sai lầm trong giải toán. Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thức toán học cơ bản như Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập các số chẵn, số lẻ,… Nhiều học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên đã có nhiều sai lầm đáng tiếc khi giải bài tập. - 12 - Ví dụ 7 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? ♠. Lời giải của học sinh Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là A46 = 360 cách Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bài toán. Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt không có mặt chữ số 5 là A45 = 120 cách Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là A46 - A45 = 360 – 120 = 240 Số ♠. Sai lầm ở đây là Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số lập được có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu bài toán. Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết quả. ♠. Lời giải đúng ở đây là Giả sử a1a2a3a4 là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a1 ≠ 0. Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 là A46 – A35 = 300 cách. Trong đó số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 và không có mặt chữ số 5 là A45 – A34 = 96 cách. Mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Sử dụng quy tắc công ta có kết quả của bài toán là 300 – 96 = 204 số. Ví dụ 8 - 13 - Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có nhiêu cách chọn ra 3 cặp để tham gia trò chơi? ♠. Lời giải của học sinh Xem việc chọn 3 cặp nam nữ là một công việc gồm 3 công đoạn Công đoạn 1 Chọn cặp nam nữ thứ nhất. Có C19C17 cách chọn. Công đoạn 2 Chọn cặp nam nữ thứ hai. Có C18C16 cách chọn. Công đoạn 3 Chọn cặp nam nữ thứ ba. Có C17C15 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 3 cặp nam nữ để tham gia trò chơi là C19C17 .C18C16 .C17C15 = 105840 cách ♠. Nguyên nhân sai lầm Học sinh áp dụng quy tắc nhân, xem việc chọn 3 cặp nam nữ trải qua 3 công đoạn nhưng các cách thực hiện sau lại phụ thuộc vào các cách thực hiện công đoạn trước. Ví dụ Trải qua 3 công đoạn ta chọn được 3 cặp là A,a, B,b, C,c. Trong công đoạn 1 ta có thể chọn 1 cặp là B,b, công đoạn 2 chọn 1 cặp là A,a, công đoạn 3 chọn 1 cặp là C,c. Như vậy ta được 3 cặp nam nữ khác là B,b, A,a, C,c. Hai cách chọn này thực chất là một vì thế học sinh đã tính lặp. Phân chia trường hợp riêng. Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp. Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá bài toán giúp học sinh giải bài tập một cách chính xác. Tuy nhiên, để có thể phân chia đúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân. Nếu là quy tắc nhân thì phân chia thành các công đoạn thích hợp, còn nếu là quy tắc cộng thì phân chia thành các tập hợp con. Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phân chia nên đã dẫn đến sai lầm khi giải toán. Để phân chia một khái niệm thành những khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu tiêu chí của sự phân chia. Đối với quy tắc cộng phải thoả mãn tính đầy đủ và độc lập. Chẳng hạn như ta chia tập hợp A thành các tập con A = A1  A2  …  Ak - 14 - Thì phải thoả mãn * A1  Aj ≠ 0; i ≠ j k Và *  A1 = A ; i,j = 1,k i1 Nhiều học sinh trong quá trình phân chia một khái niệm thành những khái niệm nhỏ đã vi phạm tính đầy đủ hoặc độc lập nên dẫn đến sai lầm trong giải toán. Ví dụ 9 Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn tròn, trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau? ♠. Lời giải của học sinh Ta xét bài toán gián tiếp Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh một học sinh nam khác. Ta có A24 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ có thứ tự. Như vậy 4 học sinh nữ được chia làm 2 nhóm. Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ này. Có C25 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ. 6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn. Vậy số cách xếp để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữ khác là = 14400 cách. Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn thì có 9! Cách xếp Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là 9! – 14400 = 348480 cách. ♠. Nguyên nhân sai lầm Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ còn lại không ngồi cạnh bạn nữ nào. ♠. Lời giải đúng là Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách chọn là A46. Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn - 15 - tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 5 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!. Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là = 43200 cách. Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề Đại số tổ hợp. Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh. Giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính xác cho từng bài toán. Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung chung mà phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính xác và thuyết phục. Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm, và việc đánh giá bài giải của học sinh qua điểm số phải công bằng. Sau khi học sinh trình bày lời giải, ngoài việc giáo viên nhận xét đúng, sai thì cần phải chính xác hoá lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh ngày càng tiến bộ hơn. Giáo viên cần nhấn mạnh các dấu hiệu đặc trưng của các khái niệm, quy tắc… Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học bất kỳ một môn học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh hệ thống khái niệm. Đó là nền tảng toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Muốn làm được bài tập, điều quan trọng nhất là học sinh phải nắm vững những kiến thức liên quan đến bài tập đó. Tức là những khái niệm, định lý, quy tắc. Học tốt các khái niệm toán chính là điều kiện cơ bản để đảm bảo tư duy toán học chính xác, nếu không học tốt khái niệm, định lý sẽ là nguyên nhân mất gốc dẫn đến sai lầm khi giải bài tập toán. - 16 - Về mặt kỹ năng, cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, kết hợp hai quy tắc để giải các bài tập toán đếm. * Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu các phương án là phân biệt, tức là mỗi cách thực hiện công việc thuộc một và chỉ một phương án. Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng tổng số phần tử của các tập hợp không giao nhau. * Trong quy tắc nhân đã phát biểu Với mỗi cách thực hiện ở công đoạn Ai thì công đoạn tiếp theo Ai+1 có thể làm theo ni+1 cách. Như vậy, số cách thực hiện ở công đoạn tiếp theo Ai+1 luôn bằng ni+1 không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại. Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được - Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp khác nhau nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp. - Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử, hiểu được một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp đó. Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công thức tính số chỉnh hợp. - Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự khác nhau giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp. - Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp. Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng công thức về tổ hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm. Thực tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Trong quá trình dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc thay đổi vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới. Chỉnh hợp thì ngược lại, nó kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra, việc thay đổi thứ tự của các phần tử sẽ sinh ra cách mới. Hướng dẫn học sinh giải bài toán gián tiếp. - 17 - Một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm ra phương pháp giải toán cho một lớp bài toàn. đưa ra 4 bước quan trọng cho việc đi tìm đến lời giải của bài toán - Tìm hiểu nội dung bài toán. - Xây dựng chương trình giải. - Thực hiện chương trình giải. - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Khi dạy về quy tắc cộng và quy tắc nhân, trong các bài toán đếm phức tạp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chuyển về giải bài toán gián tiếp Trong một số bài toán đếm, nếu số phần tử của tập E có tính chất A là khó đếm nhưng việc đếm số phần tử của E không có tính chất A dễ hơn thì ta nên dùng bài toán gián tiếp, tức là đếm số phần tử của E không có tính chất A, sau đó tính số phần tử của tập E có tính chất A bằng số phần tử của tập E trừ đi số phần tử của tập E không có tính chất A. E = B B Trong đó B là tập hợp các phần tử có tính chất A còn B là tập hợp các phần tử không có tính chất A E B Khi đó B /B/ = /E/ - /B/ - Nếu là bài toán chuẩn của dạng đã biết thì hãy sử dụng quy tắc đã biết để giải. - Nếu bài toán là không chuẩn thì cần hành động theo 2 hướng Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ bài toán ra thành những bài toán nhỏ có dạng chuẩn hoặc diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn đến bài toán đến một bài toán có dạng chuẩn. - 18 - Nhiều học sinh cũng biết cách chuyển về bài toán gián tiếp nhưng trong quá trình chuyển đổi thì lại gặp sai sót. Giáo viên cần đưa ra những ví dụ dễ gặp những sai sót và hướng dẫn học sinh giải cẩn thận. PHẦN 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU. Nội dung . Cách thức tiến hành. Thực nghiệm được tiến hành tại trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai tôi chọn lớp 11B1 là lớp thực nghiệm và lớp 11B2 là lớp đối chứng. Trình độ chung về môn toán của 2 lớp này là tương đương. Giáo viên dạy lớp thực nghiệm cũng là giáo viên dạy đối chứng. Nội dung . Thực nghiệm được tiến hành trong 6 tiết đầu chương Tổ hợp và xác suất Sách giáo khoa Đại số 11 – nâng cao. Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Nội dung đề kiểm tra như sau Đề kiểm tra 20 phút 1. Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt và chia hết cho 5? Đáp án 390 2. Một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú trong đó có nam sinh Cường và nữ sinh Hoa. Cần lập một ban cán sự gồm 6 người ưu tú với yêu cầu có ít nhất 2 nữ, ngoài ra Cường và Hoa không thể làm việc chung với nhau trong ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra ban cán sự? Đáp án 260 cách Đánh gái kết quả . Đánh giá định kỳ Qua các giờ thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các kiến thức về Đại số tổ hợp được trang bị. Học sinh học tập một cách tích cực hơn. Nhưng khó khăn và sai lầm của học sinh đã giảm đi rất nhiều. Qua tiết kiểm tra cho thấy học sinh tích cực suy nghĩ làm bài kiểm tra và đạt kết quả khá cao. Đánh giá định lượng - 19 - Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm TN và học sinh lớp đối chứng ĐC được thể hiện thông qua bảng thống kê sau Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TN11B1 32 hs 0 0 1 2 2 3 6 5 6 5 2 ĐC11B2 32 hs 0 1 2 4 4 6 4 5 2 0 Lớp 4 * Lớp thực nghiệm 11B1 có 84,4% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó có 56,3% số học sinh đạt điểm khá, giỏi. * Lớp đối chứng 11B2 có 65,6% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó có 34,4% học sinh đạt điểm khá giỏi. Kết luận Kết quả cho thấy người giáo viên hoàn toàn có khả năng dự đoán được những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong giải toán. Đồng thời có thể đưa ra những biện pháp sư phạm nhằm hạn chế những sai lầm này. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô. Thanh Hoá, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình không sao chép của người khác. ký ghi rõ họ tên Nguyễn Thị Hà - 20 - Cập nhật lúc 020659/22-06-2017 Mục tin Thông tin mới nhất về thi thpt quốc gia 2021 8 sai lầm trong giải Toán trắc nghiệm là chia sẻ thiết thực giúp học sinh không gặp phải lỗi quá phổ biến thường gặp giúp giải toán được nhanh nhất. "Nhầm lẫn điều kiện, xét thiếu trường hợp, ngộ nhận kết quả tổng quát... là những sai lầm học sinh thường mắc phải", TS Nguyễn Sơn Hà nhấn mạnh. TS Nguyễn Sơn Hà Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Theo >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc. Cô Thư cho hay trong đề thi vào lớp 10 môn Toán có sự phân loại rõ học sinh khá giỏi từ mức điểm 7,5; 8; 8,5... Để đạt được kết quả cao, học sinh cần nắm chắc kiến thức và tránh được những sai lầm đáng tiếc. Với kinh nghiệm chấm thi vào 10 nhiều năm gần đây, theo cô Thư, một số lỗi cơ bản học sinh thường gặp trong quá trình làm bài đó là đọc sai đề bài, bỏ sót yêu cầu bài toán, tính toán sai, vẽ hình sai, nhớ nhầm công thức, định lý hoặc trình bày vắn tắt, bỏ qua bước dẫn đến mất điểm. Cô Minh Thư chỉ ra một số lỗi theo từng chuyên đề, cụ thể như sau Với dạng toán rút gọn biểu thức, trong đề thi nằm ở câu 1, khi biến đổi các học sinh cần chú ý đến điều kiện xác định của biểu thức. “Câu này học sinh sẽ thường làm tốt 2 ý đầu; ý cuối 0,5 điểm để phân loại học sinh đạt mức 8 điểm, thường các em sẽ gặp khó khăn. Ý này hay gặp ở một số dạng bài như tìm giáo trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị nguyên của biểu thức,... Với dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình, rất nhiều học sinh quên điều kiện, đặt sai điều kiện khi gọi ẩn hoặc có thể các em không đọc kỹ đề nên các đơn vị đại lượng chưa thống nhất với nhau, khi kết luận chưa đối chiếu điều kiện nên kết luận sai. “Với dạng toán này các em nên ôn tập theo từng dạng bài cụ thể như bài toán chuyển động, bài toán làm chung công việc, bài toán năng suất...”, cô Thư tư vấn. Cô Nguyễn Thị Minh Thư, Tổ trưởng Tổ Toán Trường THCS & THPT Khương Hạ. Còn với dạng bài đồ thị hàm số, phương trình bậc hai, học sinh có thể mắc phải một số lỗi trình bày, tính toán sai, nhớ nhầm công thức. Ý này thường được hỏi tìm điều kiện của tham số m để thỏa mãn 1 đẳng thức dựa vào định lý Vi-et hoặc điều kiện đường thẳng cắt Parabol thoả mãn yêu cầu nào đó,… Với ý này để phân loại học sinh ở mức trên 8 điểm, các em cần nắm vững một số dạng bài quen thuộc. Về phần hình học, thường các học sinh làm tốt 2 ý đầu, tuy nhiên vẫn cần chú ý ở một số điểm như Vẽ hình chính xác, ký hiệu đầy đủ, chỉ đường tròn mới được vẽ bằng bút chì, các đường khác phải vẽ cùng màu với chữ viết. Khi thêm điểm phải giới thiệu điểm đó trong bài. Không vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt dễ gây ngộ nhận. “Các em cũng cần trình bày bài làm một cách đầy đủ, không làm tắt các bước. Ý cuối câu hình phân loại học sinh điểm 9. Câu này mức phân loại học sinh khá cao và số đông học sinh không hoàn thành được. Ý này thường gặp ở các dạng bài chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ba điểm đồng quy, tập hợp điểm thuộc đường cố định, cực trị hình học.... Mấy năm gần đây, trong đề thi còn có thêm một ý nhỏ về phần hình học không gian. Với ý này các em cần nhớ chính xác công thức tính về thể tích, diện tích của một số hình cầu, trụ, hộp chữ nhật,...”, cô Thư chia sẻ. Câu cuối cùng của đề thi thường dùng để phân loại học sinh giỏi. Đây thường là câu khó nhất trong đề thi, phần lớn học sinh không làm được. Câu này thường gặp các dạng bài về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. “Để đạt được kết quả cao trong kỳ thi vào 10 công lập, các thí sinh cần nắm chắc kiến thức, tập trung ôn luyện để rèn kỹ năng trình bày, giải toán và lưu ý tránh những sai lầm không đáng có”, cô Thư đưa lời khuyên và hy vọng các thí sinh sẽ có bài thi với điểm số tối đa. Thanh Hùng ghi Thủ khoa lớp 10 Hà Nội chia sẻ cách ôn tập trong tuần nước rútChỉ còn vài ngày nữa, các sĩ tử sẽ bước vào kỳ thi lớp 10 công lập tại Hà Nội. Trần Tùng Bách, thủ khoa lớp 10 năm 2021 cho rằng, thay vì “cày ngày cày đêm”, đây là lúc các thí sinh cần có chiến lược cụ thể để ôn tập hiệu quả. Giá siêu "hạt dẻ" - ai cũng mua được!Phân tích các lỗi sai mà học sinh khối A hay gặp phải trong việc giải đề Chỉ 1 cuốn sổ tay khai thác triệt để các dạng bài, dễ học, khó quênĐáp ứng đầy đủ 4 cấp độ của đề thi Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng & Vận dụng caoHướng dẫn chi tiết lời giải đúng để em hiểu bản chất các bài tậpĐược biên soạn bởi các thầy cô trường chuyên, tổng hợp qua quá trình chấm bài

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt